Jak vyřešit funkci Signum?

Definice funkce neznamená, že funkce je nutně dána jediným vzorcem. Může se ukázat, že v různých částech změny argumentu je funkce specifikována různými analytickými výrazy. Uveďme pár příkladů.

Příklad 4. Graf funkce signum, což je dáno výrazem

Řešení. Jestliže , pak je funkce dána rovností a její graf bude polopřímka rovnoběžná s osou a bod nebude patřit do grafu signálu (bude proražen). U hodnot bude funkce a její graf polopřímka rovnoběžná s osou a bodem bude bod s proražením. Když je signál také roven nule, měl by být bod znázorněn na grafu. Signum je tedy po částech konstantní funkce. Jeho graf je na Obr. 14.

Rýže. 14. Funkční graf.

Příklad 5. Nechť , kde označuje největší celé číslo nepřesahující . Funkce je volána celý díl čísla. Sestavte graf.

Řešení. Pokud je celé číslo, pak . Když, tak, když, tak atd. Uvažujme záporné hodnoty. Když, tak, když, tak atd. Graf funkce je na Obr. 15. Všimněte si, že levé konce segmentů tělesa patří do grafu, ale pravé konce ne.

Příklad 6. Sestrojte graf funkce. Funkce je volána zlomková část čísla.

Řešení. Nerovnice vyplní zlomková část čísla. Pokud je to celé číslo, pak je jeho zlomková část rovna nule: . Kdy dostaneme, kdy máme, kdy dostaneme atd. Pokud, tak. Pokud, tak atd. Graf funkce je na Obr. 16. Všimněte si, že levé konce segmentů tělesa patří do grafu, ale pravé konce ne.

Rýže. 15. Funkční graf.

Rýže. 16. Funkční graf.

Příklad 7. Sestrojte graf funkce definované rovností

Řešení. Funkce určuje přímku procházející body a . Nakreslete tuto přímku pro . Funkce je parabola s větvemi směřujícími dolů. Jeho vrchol je v bodě (0,1). Parabola prochází body a. Nakonec pro , nakreslíme přímku procházející body a . Získáme graf spojité funkce (viz obr. 17).

Rýže. 17. Například 7.

4. Akce s funkčními grafy

V této části se podíváme na grafy sčítání, odčítání, násobení a dělení funkcí. Také pomocí grafů dvou známých funkcí sestrojíme graf superpozice těchto funkcí.

4.1. Sčítání a odečítání grafů

Přidání Nechť jsou dány dvě funkce a známe jejich grafy. Potřebujete nakreslit graf funkce. K tomu sestrojíme grafy sčítacích funkcí na jednom výkresu. Potom nakreslíme řadu svislých čar protínajících grafy těchto funkcí a označíme na nich body, jejichž pořadnice se rovnají součtu souřadnic členů funkcí. Například (viz obr. 18), když máme , , znamená to . Všimněte si, že při přidávání je třeba vzít v úvahu znaménko pořadnic, například když máme , a , což znamená .

Spojením výsledných bodů hladkou křivkou získáme náčrt grafu funkce (viz obr. 18).

Rýže. 18. Grafy funkcí , a .

Vychitanie. Při vytváření náčrtu grafu rozdílu dvou funkcí, jejichž grafy jsou známé, můžete buď přidat grafy funkcí, nebo nakreslit svislé čáry protínající grafy funkcí a označit na nich body, jejichž pořadnice jsou rovny rozdílu v souřadnicích funkcí a.

Příklad 8. Sestrojte graf funkce.

Řešení. Grafem funkce je přímka procházející body a , graf je na Obr. 7. Sestrojme graf funkce sečtením grafů funkcí a (viz obr. 19).

Rýže. 19. Grafy funkcí , a .

Příklad 9. Sestrojte graf funkce.

Řešení. Sestrojme grafy funkcí a odečteme graf druhé funkce od grafu první (viz obr. 20). Zároveň s přihlédnutím k typu grafu budou svislé přímky protínající grafy funkcí nakresleny ve vzájemné vzdálenosti.